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Trebbi naît en Bologne.
On le repère une première fois à Venise en 1766 (La donna stravagante de Scolari) puis Reggio en 1767 dans divers opéras bouffes.
Dès 1768, le ténor est à Lisbonne, où il demeure jusqu'en 1775 à la cour du roi, avec une incursion à Madrid en 1771. Il chante évidemment aussi à théâtre, dans le buffo comme le serio : débutant en Fenicio du Demetrio de Perez l'année de son arrivée, il chante les partitions d'Alessandri (Il Matrimonio per concorso en 1773), De Majo, Scolari (Il Bejglierbei di Camarania, 1770, dans lequel un commentateur estime qu'il campe un beau Turc), Piccinni, Pugnani, Franchi, Sacchini (Il Cidde, 1773), Ottani, Guglielmi, etc. La troupe comprend au départ la toute jeune Todi – appelée à des succès européens –, puis le castrat Folicaldi et surtout les sœurs Anna et Antonia Zamperini, qui accaparent l'attention du public. Les problèmes financiers du théâtre privé et les scandales d'Anna Zamperini entraînent la fin des productions et Trebbi quitte le Portugal.

C'est ensuite directement comme premier buffo à Londres que Giuseppe reparaît dès 1775. Il y remplace le ténor Lovattini, adoré du public britannique. Il chante essentiellement l'opéra bouffe, mais aussi sérieux : quand le ténor Onofrio décède subitement, c'est Trebbi qui le remplace dans La Vestale de Vento. Le chanteur a notamment pour partenaires, durant ces années-là, la superbe Gabrielli, la soprano Cecilia Davies, la contralto Galli, les castrats Savoj, Roncaglia et Rauzzini (il crée et reprend Le Ali d'Amore de ce dernier). Trebbi chante des pasticci, Di Majo, Piccinni, Sacchini, Anfossi... Mais son tempérament n'est pas vraiment adapté au grand genre. Dans le bouffe aussi du reste, il souffre de la comparaison avec son prédécesseur : Burney juge que sa performance « was never very attractive ». Un commentateur écrit (en français dans le texte) :
Quoique le Sieur Trebbi ne fût pas destiné originairement à remplir le rôle de Tenore dans l'Opéra sérieux, & que sa physionomie, naturellement comique, se prêtât peu à jouer les rôles de Rois, de Tyrans, & d'Empereurs Romains, la perfection de son chant & l'agrément de sa voix faisant passer sur l'improbabilité de sa tournure nous craignons qu'il ne soit pas remplacé dans cette partie.
Malgré cet enthousiasme modéré, Trebbi passe plusieurs saisons à Londres entouré d'excellents artistes. Remplacé un temps par Jermoli, Trebbi est de retour en 1779 et se produit par exemple encore dans Alessandro nell'Indie, pasticcio réunissant Pacchieriotti, Anna Pozzi, Danzi-Lebrun et Monnani. Après encore de nombreuses prestations jusqu'en 1781, dont une reprise de L'Amore soldato de Sacchini créé par le couple Jermoli, Trebbi se retire dans sa ville natale.
Michael Kelly dit lui rendre visite en 1782 et rapporte que Trebbi vit dans l'opulence.

Affiche du Quinto Fabio de Bertoni (Londres, 1780)