Nés de parents gestionnaires de théâtre, Stenborg bénéficie d'une solide éducation, payée par Adam Horn, chez lequel sa mère avait été employée de maison. Il termine l'université et commence à travailler comme employé de bureau à la cour. À l'occasion d'un voyage en russie, il chante devant Catherine de Russie, qui le couvre le cadeaux. Gustave III, qui met alors en place son théâtre, repère cette voix à la beauté hors du commun, et n'a de cesse de l'y employer : Stenborg débute en 1773 dans le fameux Thetis och Pelée d'Uttini. Il partage la scène avec l'étoile féminine de la Suède, Elisabeth Olin, également alors sa maîtresse, et la fille de celle-ci. Il ne quitte pas l'opéra jusqu'en 1806 et enchaîne les succès dans tous les genres proposés dans la capitale suédoise : opéra comique à la Grétry, tragédie lyrique de Gluck, créations locales de Naumann, Vogler ou Kraus etc.

Ses connaissances musicales poussées et son expérience lui permettent de cumuler les rôles d'administrateur, de chanteur, de compositeur-arrangeur, de traducteur et d'acteur ! Il parle allemand, français, italien et espagnol. Stenborg est présent sur tous les fronts et le public est heureux de lui trouver un concurrent pour pimenter la situation et enrichir les opéras, en la personne du ténor Karsten. Les deux hommes brillent d'un feu égal sur la scène suédoise. En 1782, Stenborg est honoré du titre de hovsekreterare, et l'année suivante, il entre dans direction de l'Académie royale de musique. Il prend également la tête des théâtres ouverts par son père dans la capitale, où il peut exercer toute la diversité de ses talents. En 1793, il épouse apparemment la fille d'Elisabeth Olin, qui chantait Éros dans Thetis et Pelée. S'ensuivent quelques concerts qui le poussent jusqu'à Copenhague.
Après la fermeture de l'opéra en 1806, le ténor, fort dispendieux, s'enlise dans les problèmes financiers et meurt de chagrin, dit-on, en 1813.

En tant que chanteur, on apprécie la finesse et la délicatesse de son style et de sa voix plutôt grave, proche du baryton. Cet art hérité de la tradition belcantiste baroque contraste avec la force des accents déclamatoires et la passion de son rival Karsten, sans doute inspiré du style français à la Gluck très en vogue dans le nord de l'Europe. Les rôles fétiches de Stenborg, outre Pelée, sont Orphée et Renaud d'Armide chez Gluck, et le rôle titre du Gustaf Vasa de Naumann.
Comme compositeur, Stenborg laisse notamment deux opéras inspirés de grandes figures nationales, alors que le roi Gustave III encourage l'émergence d'un art suédois : Gustaf Ericsson i Dalarna et Gustaf Adolfs jakt.