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Originaire de Bologne ou de Rome, Filippo Giorgi débute dans des rôles mineurs à Naples puis Rome, à la glorieuse époque qui y voit fleurir les drames de Metastasio mis en musique pour la première fois.
Il semble même commencer au Teatre Nuovo de Naples en 1724-25, où il chante l'opéra bouffe avec Tolve et la Colasanti, comme Il Trionfo dell'amore d'Auletta. Cependant, l'année suivante il rejoint la troupe seria du San Bartolomeo.
Après avoir modestement participé à L'Orismene de Leo et L'Astarto de Hasse en 1726, il crée ainsi Medarse dans le Siroe de Sarro (Naples, 1727) avec la Bulgarelli, Berenstadt et Scalzi, puis Fulvio dans Catone in Utica de Vinci (Rome, 1728) avec Pinacci, Carestini et Fontana dans les rôles principaux.
On entend le ténor à Venise dès 1728-29, par exemple en Varo dans Ezio de Porpora, avec la basse Boschi en Massimo. La saison suivante, il participe au mythique Artaserse de Hasse au théâtre Grimani, incarnant le rôle titre auprès de Farinelli, Nicolino, la Cuzzoni ou encore Maddalena Pieri. On donne la même année Idaspe de Broschi, auquel participe également l'épouse du ténor, Caterina. Giorgi est alors virtuoso di Camera della Serenissima Gran Principessa di Toscana, comme nombre d'excellents chanteurs.
En 1732-33, il chante Osroa dans Adriano in Siria de Giacomelli avec un autre ténor, Barbieri, dans le rôle titre. On l'entend ensuite à Bologne pour la création du Siroe de Hasse, continuant ainsi à répandre l'idiome métastasien avec Farinelli, la Tesi et Caffarelli. Entre-temps, Giorgi se produit notamment à Turin en 1731, dans le Catone in Utica de Hasse où il incarne cette fois-ci le rôle titre, avec une fois de plus Farinelli, ainsi que la Tesi, Bilanzoni et Antonia Negri.

Caterina et Filippo Giorgi sont invités à la cour impériale de Russie qu'ils intègrent à compter de 1735. C'est là que Filippo achève sa carrière, au poste de premier ténor, et demeure en service jusqu'en 1756. Cependant, son renom lui permet de se produire ailleurs : en 1739, Giorgi est à Rome, chantant par exemple Terradellas avec Ghirardi et Annibali. Le couple Giorgi est invité à la cour de Dresde en 1740 et donne le Demetrio du Kapellmeister Hasse, avec les étoiles locales dont le rayonnement est européen : Faustina Bordoni, Annibali, Bindi... En effet, le grand ténor dresdois, Amorevoli, n'est engagé que deux ans plus tard. En 1747-48, Giorgi chante encore à Rome avec le castrat Elisi, interprètant notamment Galuppi. Il reparaît la saison suivante à Venise et donne le Demofoonte de Hasse, avec Carestini et Peretti. Il porte alors le titre de Virtuoso di S.M. Il Re di Polonia, Elettore di Sassonia, et rien l'associant à la cour de Russie, étrangement.
À Saint-Petersbourg, le maître de chapelle Araja fait découvrir l'ivresse de l'opéra séria aux Russes, et compose diverses pages auxquelles participe Giorgi, comme les rôles titres de Seleuco (1744) et Mitridate (1747) et jusqu'au rôle titre d'Alessandro nell'Indie en 1755, avec un Carestini à bout de souffle. De prestigieux partenaires sont présents de manière plus soutenus : c'est surtout le cas du castrat Saletti, et des sopranos Avoglio et Posterla. Les Giorgi sont cependant parmi les plus réguliers.

Ce ténor aura été l'un des plus solides interprètes d'une époque charnière pour l'opéra sérieux, et pour la voix de ténor en général. Malheureusement, les témoignages discographiques manquent pour en dresser un portrait plus concret.