Ce chanteur originaire de Bologne est particulièrement importante dans le succès et la diffusion de l'opera buffa en Europe.
On le repère à Venise dans des pages de Fiorini et Ciampi au San Moisè en 1748 avec le couple Paganini et la Segantini : le Bertoldo de Ciampi sera souvent repris par Cosimi sous divers titres.
Les voyages commencent immédiatement : Cosimi intègre une troupe de comiques italiens comptant notamment la soprano Tonelli, le ténor Manelli et le castrat Guerrieri. Les saltimbanques passent par Munich en 1749 (par exemple La Ciana de Latilla), puis se rendent à Strasbourg (ils y donnent même un opera seria, Cesare in Egitto de Jommelli) avant de s'établir un temps à Paris. De 1752 à 1754 environ, la capitale française s'entiche de la Tonelli et succombe aux charmes de l'opéra italien. Cosimi crée ainsi Lamberto dans Il Maestro di musica, et reprend Tracollo de Pergolesi, sans oublier l'inusable Bertoldo de Ciampi. La troupe se produit également à Nancy.
Cosimi chante ensuite à Bologne en 1755, créant Le Nozze de Galuppi, avec la Monari, la Tonelli, le ténor Lovattini et la basse Del Zanca. Cette œuvre restera un beau succès de Galuppi, dont le nom occupe dès lors une place accrue dans la carrière de Giuseppe. Ce dernier glane d'autres engagements à Pesaro, Milan puis Novara en 1758.
On ne le retrouve qu'en 1763-64 pour au moins cinq productions à Prague. Le reste des années 1760 voient Cosimi à Venise et Turin, mais aussi Plaisance, Pise et Milan. D'autres noms s'imposent dans le genre bouffe : Guglielmi, Paisiello (L'Amore in ballo) et Piccinni. Le chanteur est engagé au duché du Wurtemberg et prend part aux rares créations comiques du maestro Jommelli, Il Cacciator deluso et La Schiava liberata, en 1767 et 1768. C'est en 1767 aussi qu'il épouse la modeste chanteuse Violante Masi. Il chante à la cour jusqu'en 1773, avec la Bonafini et la soprano Cesari-Seemann, ses partenaires jusque dans La Contadina in corte de Sacchini. Après un passage à Munich (1775), Cosimi retrouve la Péninsule.
Encore de nouvelles étoiles de l'opera buffa s'ajoutent à son répertoire, avec Salieri, Gassmann, Sarti et Anfossi, donnés à Turin, Trieste, Bologne, Vérone ou encore Ferrare jusqu'en 1780. La décennie suivante, son activité ne faiblit pas, avec de nombreuses productions à Turin en 1780 (Lumaca dans La Scuola de' gelosi de Salieri avec Rosa Baglioni et le ténor Schiroli) et 1782, mais aussi Parme, Florence, Ferrare, Rovigo, Lodi (1784, Giannina e Bernardone de Cimarosa avec Maddalena Mori).
On retrouve Giuseppe Cosimi à Berlin, dès 1790 (La Compania d'opera a Nanchino d'Alessandri avec Antonia Rubinacci) et enfin 1796 et 1797, après cinquante années de carrière ! Sans doute bien diminué, il incarne un villageois dans la Nina de Paisiello avec le ténor Viganoni ou encore Il Demogorgone de Righini avec Margarethe Schick.
Une bien belle carrière internationale pour un simple buffo caricato, dont le talent dramatique devait être exceptionnel.