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Giuseppe Carri fait partie de la troupe du Teatro en La Rioja en 1778. Il apparaît à Barcelone pour la saison 1779-80, où il chante des opere buffe d'Anfossi comme Il Geloso in cimento. Il semble encore présent en Espagne en 1782.
Carri reste interprète buffo à Naples au Teatro del Fondo en 1783, notamment La Villanella riconosciuta avec Antonio Casaccia. Passé au grand genre, le ténor se fait admirer au San Benedetto de Venise pour la saison 1786-87 avec Pacchierotti et Antonia Rubinacci dans des opéras de Prati et Bianchi. En 1787-88, il retrouve la Marchetti-Fantozzi et Marchesi pour Demofoonte de Pugnani et un opéra du jeune Cherubini à Milan. Le ténor chante aussi à Florence dans plusieurs opéras, avec le castrat Damiani, ainsi qu'à Modène avec la Maccherini-Ansani et Sartorino. En 1789, on l'entend à Rome avec les castrats Capranica et Rubinelli.
Carri retourne un temps en Espagne et chante à Madrid en 1791 et peut croiser l'immense tragédienne Todi.
De retour en Italie, Carri est à Livourne en 1791, puis Milan en 1792 dans le Pirro de Zingarelli, avec les castrats Savoj et Marchesi. Il chante constamment à Venise sur les planches du nouveau théâtre de la Fenice, de 1794 à 1798 : il y crée notamment Lodoiska de Mayr avec Macciorletti-Blasi et le castrat Marchesi. L'œuvre devient extrêmement populaire parmi les amateurs d'opéra italien. On l'entend aussi dans les partitions de Bernardini, Nicolini et surtout Zingarelli (Lauso e Lidia etc.), avec une Catalani débutante. Durant cette période vénitienne, Carri se produit aussi ailleurs comme à Faenza en 1796. Mais sa voix décline à l'approche de la fin du siècle, comme le rélèvent les critiques, malgré un beau rendu des récitatifs.

Carri s'impose parmi les ténors les plus demandés de l'époque, où règnent néanmoins ses collègues Giacomo David, Babbini ou encore Mombelli.