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Le début de sa carrière amène le ténor d'origine vénitienne jusqu'à Copenhague, à l'époque où il chante Pompeo dans Andromaca de Sarti dans les années 1750.
En 1767, Afferri chante Ezio de Bertoni à Venise, avec Guadagni, un partenaire qu'il retrouve régulièrement au cours de sa carrière. On ne sait à quel époque il se lie avec la contralto Elena Fabris, mais Giuseppe se produit principalement avec son épouse.
Le couple est à Naples en 1768 pour Ipermestra de De Majo, où le ténor chante le cruel Danao, et Artaserse de Piccinni. L'année suivante, ils créent Il Trionfo di Clelia de Bertoni avec Guadagni et Cecilia Grassi, à Padoue, puis reprennent Il Re pastore de Mazzoni. Mozart entend le ténor dans Il Ruggero de Guglielmi en 1770 et commente du haut de ses quatorze ans :
C'est un bon chanteur, baryton, mais il force sa voix dans le falsetto, certes pas autant que Tibaldi à Vienne.
C'est évidemment sans son épouse, qui a le défaut d'être une femme, que le ténor se produit à Rome en 1772 ; il donne Alessandro nell'Indie d'Anfossi au Teatro Argentina avec Mazzanti et Elisi. Il se produit ensuite à Livourne avec Camilla Mattei et Giacomo Veroli. En 1773-74, il est à Turin, avec Rauzzini et E. Teyber ; il crée notamment La Disfatta di Dario de Masi.
Afferri se produit aussi dans le genre bouffe : à Venise, il crée Il Militare bizzarro de Sarti en 1777. Il est alors primo buffo, titre le plus couramment réservé aux basses ; mais sa tessiture a peut-être encore baissé.

Le commentaire de Mozart s'avère intéressant : le rôle de Danao écrit par De Majo présente en effet une tessiture fort grave. Quant aux capacités techniques du chanteur, elles sont impressionnantes si l'on en croit l'air Sarò qual è il torrente tiré d'Antigona.