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Ce valeureux contralto est issu de l'école de chant de sa ville natale, Bologne. Tenue par le castrat Pistocchi, c'est l'une des plus réputée du pays ; Minelli est l'élève le plus brillant ayant bénéficié directement de l'enseignement du maître, après le contralto Bernacchi.

Le premier livret attestant de la présence du jeune alto date de 1710, à Foligno, où il interprète Caldara avec Giacinto Fontana. En 1711, Minelli est à Rome est chante dans L'Anagilda du même auteur lors d'une représentation privée au palais Ruspoli-Bonelli avec la soprano A.M. De Piez. Sa carrière est lancée : le voici à Bologne, Ancône et Ferrare, chantant Perti, Predieri ou encore Pistocchi. Dans le Teuzzone d'Orlandini, il côtoie le jeune Senesino mais aussi les divas Bulgarelli et Scarabelli. Minelli chante pour Vivaldi au Sant'Angelo de Venise en 1713-14, et campe Ruggiero dans la première version d'Orlando furioso, à laquelle participent le compositeur Ristori et la soprano Giusti. Il se produit ensuite amplement à Vérone avec notamment la contralto Mucci, puis Florence et Gênes avant de retrouver Venise en 1717-18, cette fois-ci au San Cassiano. Il partage l'affiche avec le castrat Baldassari, la contralto Vico et le ténor Borghi. Minelli chante à Naples pour les carnavals 1719 et 1720, avec la Bulgarelli et Nicolini, reprenant par exemple Argante dans le Rinaldo de Haendel. Il interprète aussi A. Scarlatti, Falco, Porpora et Sarro avec la contralto Dotti. On le retrouve ensuite à Rome, puis il chante Gasparini et Vivaldi à Milan en 1721 et Orlandini à Turin en 1722 avec la Gualandi.
Il fait partie de la cour de Mantoue, à l'instar de la basse Zanoni, ou de maints autres vocalistes d'excellence. Minelli est également engagé à la cour de Bavière, où il se produit dans I Veri Amici d'Albinoni en 1723 avec la contralto Mazzanti. À Rome, il paraît auprès de Carestini dans Ercole sul Termodonte de Vivaldi en 1723. On l'entend ensuite à Venise. Minelli paraît aussi à Milan avec la Lorenzani (1725), et l'année suivante à Florence dans Siroe de Porta, dans le rôle de Cosroe, puis Milan. On discute de son engagement à Londres, avec des échos mitigés sur ses possibilités de succès local, étant donné un physique déplaisant ; il ne s'y rend finalement pas et c'est le castrat alto Baldi qui va au Royaume-Uni. Minelli retrouve Rome pour les carnavals 1727 et 1728 et prend part à divers opéras de Vinci, dont la toute première mise en musique du Catone in Utica de Métastase, comme secondo uomo (distribution de Gismondo ci-contre). En 1729-30, le castrat retrouve Naples pour incarner Tigrane de Hasse, avec la Tesi et le ténor Barbieri, ainsi qu'un pièce de Feo et un nouveau Farnace de Vinci.
En 1731, le castrat est invité à Vienne et participe à la première du Demetrio de Métastase, mis en musique par le maître de chapelle Caldara, accompagné de Theresia Reutter, de Pietro Casati et du ténor Borghi. Le librettiste en personne se fait l'écho du succès remporté par le contralto dans sa correspondance.
Minelli fait son retour à Rome en 1732, puis Plaisance, Pistoia, Mantoue (Il Demetrio dans la version de Ciampi avec la Posterla, Pasi et Agostino Fontana). Il chante Sandoni à Gênes en 1733-34, avant Bologne où il incarne Iarba dans Didone abbandonata de Schiassi, où s'illustrent Fabri et la Peruzzi. C'est la dernière trace du castrat sur scène.

D'après le grand Mancini, Minelli « était un contralto qui utilisait un chant spianato et un portamento plein de noblesse, auxquels il ajoutait un trille et un mordant parfaits ». À l'aise dans le style pathétique de l'école de Bologne, il était également capable d'une grande agilité avec une voix montant facilement jusqu'au fa4, à même de rendre justice aux pages virtuoses des maîtres modernes de l'école napolitaine qu'il interprète à la fin des années 1720 et jusqu'à la fin de sa carrière.

Caricature de Minelli par Zanetti ©Fondazione Cini