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Originaire de Cortone, ce castrat de second rang apparaît pour la première fois à Florence dans un petit rôle d'Il Ciro (Gasparini ?), où le castrat Archi, les contraltos Landi et Novelli ainsi que la soprano Guglielmini tiennent les parties principales. En 1719, Galletti pratique un étrange mélange des genres dans le modeste théâtre de Recanati : il chante un rôle féminin et un rôle masculin dans deux différents intermèdes comiques d'Orlandini, dont La Lisetta, mais incarne aussi le rôle titre de La Partenope avec notamment Guerri et Raffaele Baldi !
Galletti continue de chanter les intermèdes bouffes au théâtre Alibert de Rome pour le carnaval 1721. C'est à Rome encore que le castrat paraît en 1724, cette fois dans des rôles sérieux, comme Lurcanio dans Ginevra di Scozia de Falconi ou Ormonte dans La Partenope de Sarro, avec Felice Novelli. Pour le carnaval 1726-27, Galletti est engagé dans la troupe de Vivaldi dont il crée Dorilla in Tempe et Farnace, ainsi que Medea e Giasone de Brusa. Avec lui débute Anna Girò, aux côtés de la contralto Pieri, du ténor Moretti ou du castrat Finazzi. En 1728, Galletti apporte l'opera seria à Bruxelles, où il donne Archeleo de Caldara avec la soprano Avoglio et la contralto Dotti. En 1730, il affronte le genre napolitain à Plaisance et Milan, abordant Giacomelli et Hasse. L'Arminio de ce dernier rassemble Carestini, Bordoni, Turcotti, Pinacci et Appiani ! Galletti retrouve ce dernier castrat à Rome pour le carnaval 1730, où Araja et Leo sont à l'honneur. Après une parenthèse génoise, c'est encore sur les scènes romaines que chante Giuseppe en 1732, créant notamment Rosbale de Giacomelli avec Farfallino et les excellents ténors Fabri et Babbi. Sa carrière le mène ensuite à Alessandria et Gênes, notamment.
Galletti est engagé dans la troupe d'opéra italien de Lisbonne : il y reste en 1736 et 1737 pour interpréter les œuvres du maestro Schiassi (Artaserse, Demofoonte, etc.) comme secondo uomo auprès du castrat Valetta et des sœurs Paghetti.
De retour en Italie, Giuseppe participe à Carlo il calvo de Porpora à Rome, avec Lorenzo Gherardi. On l'entend encore à Arezzo puis Florence dans deux pages d'Arrigoni où paraît la jeune Prudenza Sani. Sa carrière prend fin à Munich où la troupe a perdu de son lustre. Il y est enfin primo uomo, dans Artaserse de Ferrandini et Farnace de Porta, où il chante avec le vétéran Agostino Galli et la Merighi, ainsi que Rosa Pasquali.