D'après Mancini, ce soprano est originaire de Fossombrone.
Filippo est à Venise dès 1739, au San Samuele, et chante dans Creusa de Cardena. On le retrouve ensuite à secondo uomo à Vérone (1740) puis à Padoue avec le castrat Tedeschi. Rome l'accueille en prima donna en 1741, 1742 et 1743, pour interpréter Leo, Manna, Jommelli ou encore Cocchi (Adelaide avec le ténor Tolve). Le voici déjà au rang de primo uomo, dès Demofoonte de Gluck à Reggio Emilia avec l'Aschieri (1743). Suivent Bologne, Parme, Ferrare, Lucques... En 1745, Elisi foule les planches du plus prestigieux S.G. Grisostomo pour Ariodante de Wagenseil ou encore Sofonisba de Jommelli, avec à nouveau la diva AschieriIl brille à Fano, Florence, Lucques et Rome. En 1748-49, on l'entend aussi à Naples, par exemple dans Ezio de Jommelli, avec la même Aschieri, à nouveau le castrat Tedeschi et le ténor Babbi. C'est néanmoins plutôt dans la moitié nord de la Péninsule que sa carrière se développe, entre Florence, Turin (1751), Plaisance, Rome (1752 puis 1753, avec le soprano Belardi), Reggio...
 En 1753, Elisi arrive à Madrid comme premier chanteur, où il se produit avec les meilleurs vocalistes d'Europe : les ténors Panzacchi puis Raaff, la Mingotti, Maddalena Parigi, Teresa Castellini... Il y chante les saisons 1753-54 et 1756-57 et interprète les opéras de Jommelli (Semiramide riconosciuta, Adriano in Siria...), Conforto (La Nitteti) ou encore Mazzoni (Il Re pastore). Entre-temps, on l'entend à Naples, par exemple dans La Disfatta di Dario de Cafaro avec Colomba Mattei.
Après Milan, en 1759, Elisi crée Ippolito ed Aricia de Traetta à Parme pour le mariage de l'infante de Parme avec le prince des Asturies. La grande Gabrielli est sa partenaire, et l'opéra se fonde sur le livret de Pellegrin ayant déjà servi à Rameau, plaçant ainsi un jalon important de la réforme du serio. On le retrouve aussi à Turin avec la même diva pour le carnaval.
En 1760, Elisi est engagé comme premier chanteur à Londres, par la prima donna et directrice du King's Theatre Colomba Mattei, et y reste jusqu'en 1762. Il y chante par exemple Alessandro nell'Indie de Cocchi en 1761. Thomas Gray note dans son journal, la même année :
Elisi est meilleur que tous les interprètes dont nous ayons le souvenir ; et pourtant, je présume qu'il n'est plus ce qu'il a été. Il paraît approcher des quarante ans, ventru et large d'épaules, avec cependant une allure correcte ; son jeu est satisfaisant et non dénué de grâce. Depuis que je connais l'opéra, nous n'y avons jamais entendu qu'éternels passages, divisions et performances. Rien de cela chez lui, bien que je ne puisse dire s'il s'agit plus d'un choix que de l'effet de l'âge. Il s'intéresse à l'expression et c'est en ce sens que tous les ornements et fioritures qu'il insère sont pensés ; ils restent d'ailleurs peu nombreux et limités. Il monte plus haut que Farinelli (dit-on), donnant des notes célestes, uniques dans tout un opéra, et de ces altitudes passe soudain aux sons les plus doux, moelleux et puissants (vers le milieu de son ambitus) qui se puissent imaginer.
Mais alors qu'Elisi revient pour la saison 1765-66, et chante avec Teresa Scotti et Ercole Ciprandi (par exemple L'Eroe cinese de Galuppi), le déclin est franchement prononcé et la duchesse de Northumberland écrit « Elisi a perdu sa voix et le voilà gros comme un marsouin. »
Entre-temps, on avait pu réentendre Elisi à Venise avec Camilla Mattei et le ténor Carlani dans Didone abbandonata de Galuppi, et à Rome en 1763 avec le castrat Carlo Nicolini dans Vologeso de Bertoni – là encore les critiques sont cinglantes.
Malgré le déclin, on entend encore Elisi à Milan en 1766, puis Rome comme primo uomo dans Alessandro nell'Indie d'Anfossi, avec le ténor Afferri, en 1772.
Sarah Goudar écrit en 1771 qu'« Elisi aimait les airs qui font tomber des guinées. » et confirme son déclin vocal. Mancini, autrement averti et se rappelant du chant du grand Elisi, le cite parmi les chanteurs de premier ordre. La voix étendue, de nature aiguë du soprano Elisi apparaît clairement dans les coloratures insistantes que lui confie Cafaro dans son Ipermestra (écrit en clé d'ut1) :
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