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Ce castrat s'impose par une voix de soprano agile.
On trouve sa trace dans le registre du collège germano-hongrois du grand compositeur et pédagogue Carissimi à partir de 1632, à Rome, et jusqu'à une date indéterminée ; il est soprano du chœur et non élève, et sans doute encore fort jeune. À cette époque, Rome est le principal vivier de grandes voix, notamment pour l'opéra.

Ainsi, lorsque les théâtres vénitiens commencent à produire spectacle sur spectacle, Costa est engagé au moins pour la saison 1642-43 au SS Giovanni e Paolo. Il se produit avec la diva Anna Renzi et Anna Valerio dans La Finta Savia de Laurenzi puis très probablement L'Incoronazione di Poppea. Les versions de ce dernier opéra qui nous sont parvenues sont assez différentes et portent certainement la marque de différents compositeurs, même si l'ensemble est en général attribué à Monteverdi. En 1641, on avait déjà pu admirer Costa à Ferrare dans la première d'Armida de Marazzoli. Son succès lui vaut divers engagements à la cour.
C'est donc à son maître Bentivoglio de Ferrare que Costa écrit depuis Paris en 1647, où il semble reprendre L'Incoronazione di Poppea. À Paris, Costa vient avant tout de se produire dans une prestigieuse création, L'Orfeo de Luigi Rossi, avec une belle distribution comprenant les sœurs Costa (liées au castrat ?), et les castrats Atto Melani, Sportonio ou encore Del Pane. On ignore quel rôle Stefano y tenait.
Le castrat paraît dans Erismena de Cavalli en 1655-56. En 1657-58, Costa est engagéq au San Cassiano de Venise, avec le diva Manni, le castrat Cavagna et la basse Formenti. Il chante peut-être dans Il Teseo de Ziani. On le retrouve au San Luca en 1660-61, pour la reprise d'un opéra de Cavalli et la Pasife de Castrovillari, où brillent la basse Lesma et encore la Manni. Costa est encore distribué à Venise en 1666, donnant notamment Seleuco de Sartorio.

Ces indications témoignent d'une longue carrière sans doute entamée très tôt. On pourrait aussi avoir affaire à deux homonymes.