Basse d’origine toscane (Florence ?) active dans les années 1760 et jusqu’en 1780. D’un grand talent, il épouse Clementina Baglioni, chanteuse elle-même fort douée et fille d’une basse bouffe de grand renom, Francesco Baglioni.
Domenico et son épouse se produisent régulièrement ensemble, et sont engagés tous deux à Vienne en 1766. Domenico reste en troupe à Vienne jusqu’en 1775, à l’exception de 1770 où il chante en Italie, toujours avec son épouse.
En 1768, le critique Sonnenfels loue son chant et surtout son jeu, toujours dans le bon registre et drôle sans tomber dans la farce facile. Il souligne que les rôles qui lui conviennent le mieux sont ceux de paysans, serviteurs ou pères d’âge moyen, où il peut donner toute son énergie. Ainsi, Poggi se montre un interprète idéal des personnages de ce type dans La Contadina in corte de Sacchini, Il Marchese villano de Galuppi ou La Notte critica de Gassmann dans lequel on lui assigne un rôle de valet français. Il crée également le valet de La Locandiera de Salieri, et Mozart pensait probablement à lui pour Simone dans La Finta Semplice avant que l’œuvre ne soit finalement revisée et donnée à Salzbourg.
Vienne aimait employer les chanteurs dans tous les genres ; Poggi chante donc également Il Banditore dans Alceste de Gluck en 1767, et plusieurs oratorios dans la nouvelle Tonkünstler Sozietät.

Outre ses talents de chanteur-acteur, Poggi est amateur de belles lettres : il élabore lui-même le livret de La Locandiera à partir de la pièce de Goldoni, et continue en collaborant avec les poètes officiels de la cour, Casti et Boccherini (par exemple pour La Calamità de’ cuori, que Salieri met aussi en musique).

En 1776, il est probablement à Bologne, où il est maître de chœur et chante parfois, notamment dans une reprise d’Alceste (Gran sacerdote/oracolo/Apollo). On trouve encore sa trace à Livourne et à Venise en 1778, où il chante avec son épouse Clementina, notamment Il Cavaliere errante de Traetta.