On découvre Giovanni Morelli à Venise dès 1771 dans L'Anello incantato de Bertoni, avec le ténor Laschi. Deux années plus tard, à Milan, il paraît auprès de Bussani. Il interprète Il Tamburo notturno de Paisiello à Parme, Turin. Morelli revient à Venise en 1776. Entre 1779 et 1781, la basse bouffe chante Anfossi et donne Il Bon Ton de Schuster, toujours à Venise, puis interprète Andreozzi ou encore Astarita avec la Morichelli. Installé à Naples à partir de 1782, Morelli chante Gazzaniga, Cimarosa, Guglielmi, Paisiello, dont Figaro lors de la première italienne du fameux Barbiere di Seviglia, avec la Coltellini et les basses Fischer et Trabalza, en 1783. L'année suivante, il chante Cimarosa à Milan. Il retrouve ensuite le teatro dei Fiorentini de Naples, et le célèbre Antonio Casaccia, avec l'inévitable Paisiello. En 1786, Morelli est à Rome, notamment dans un opéra de Fabrizi, et de nouveau à Venise en 1789.

Entre-temps, il se produit une saison à Londres, au King's Theatre, où il devient très populaire. La troupe se produit à Paris, ce qui lui vaut d'être connu des Français.
Engagé en France en 1789, Morelli est chargé de former une compagnie italienne pour chanter l'opéra bouffe au théâtre de Monsieur à Paris. La basse fait donc appel à une troupe qui comprend Raffanelli et Rovedino, puis le ténor Viganoni et le couple Mandini. Lui-même participe à peu de productions, parmi lesquelles Il Convitato di pietra de Gazzaniga avec la Morichelli et le ténor Mengozzi. Il quitte la troupe pour retourner Londres, d'où il ne bougera plus.
Il intègre la compagnie du Panthon Theatre en qualité de primo buffo en 1791, dans des conditions avantageuses. Il reprend La Molinarella de Paisiello, l'un de ses grand succès, déjà donné lors de son premier séjour. Morelli renoue avec le succès auprès du public anglais, et passe au King's Theatre dès la saison suivante : c'est dans cette salle de Haymarket qu'il termine sa carrière. Il reprend maints opéra de Sarti, Cimarosa, Paisiello, Anfossi, avec ses partenaires la basse Rovedino et le ténor Braghetti. Il crée également La Capricciosa corretta de Martín y Soler avec la Morichelli et le jeune ténor Brida, en 1795 ; mais l'essentiel du répertoire est constitué de reprises d'œuvres ayant rencontré le succès sur le continent, comme Il Matrimonio segreto en 1798 ou encore Lo Spazzacomino principe deux ans plus tard (Portogallo ?). La basse demeure un pilier de la troupe jusqu'en 1807, acclamé jusque dans ses dernières prestations (La Virtuosa) malgré l'amenuisement progressif de ses moyens. On engage alors une autre basse, Naldi, qui aide son aîné financièrement. Morelli continue de participer à diverses productions jusqu'en 1815.
Durant cette période londonienne, il s'illustre aussi dans les oratorios, lors des festivals Haendel, notamment dans un pot pourri intitulé Redemption auquel participent aussi le ténor Kelly et Mrs. Crouch en 1792.

Burney lui reconnaît une voix belle et souple, mais c'est surtout comme acteur qu'il est réputé. Le critique anglais James Boaden, réputé difficile, évoque « un acteur comme on en a vu peu sur les scènes italiennes ». Quant au Times, il précise :
Le jeu de Morelli semble entièrement guidé par le bon sens, il ne tombe pas dans les grimaces et autres bouffonneries propres aux écoles étrangères, et qui sont bien trop présentes à nos oreilles... [C'est] le meilleur acteur comique que nous ayons vu.