Né dans une famille de musiciens, Nicola a pour petite sœur Carolina, appelée à devenir un célèbre contralto, et pour autre frère Adolfo, ténor, compositeur et directeur de maison d'opéra.
Le chef de famille Giovanni Bassi fonde une troupe nommée Ragazzi napolitani qui comprend Carolina, Nicola et Adolfo ainsi que – selon les années – Raimonda Bassi, Ernesta Bassi, Gaetana Bassi (costumes) et Anna Trevisi Bassi. On trouve bon nombre de ces noms dès 1785 au San Carlino, dans Il Diavolo a quattro d'Astaritta. Toujours à Naples, leurs noms reparaissent en 1788 pour la création de l'Apparizione di San Michele de Coppola aux côtés de la soprano Teresa Bertinotti, et dans d'autres œuvres du même auteur en 1790. L'ensemble écume divers théâtres italiens en promenant un répertoire comprenant la Nina de Paisiello et diverses pages de Coppola (Li due fratelli perseguitati) et Gulgielmi (La Sposa contrastata) : les voici à Crema, Carpi, Milan, Crémone, Florence... Ils atteignent Palerme en 1794-95, et ajoutent Fioravanti et Bianchi à leur répertoire, toujours dans le genre léger. Après Crémone, Turin et Bergame, les Bassi se frottent à l'opera seria en reprenant la célèbre Merope de Nasolini à Parme, puis Milan et Klagenfurt entre 1798 et 1800.

Sorti de la troupe familiale, Nicola se fait un nom de basso buffo réputé. Entre 1803 et 1804, il enchaîne d'innombrables productions entre Padoue et le San Moisè de Venise, spécialisé dans le genre buffo. Il y croise notamment la soprano Francesca Festa-Maffei et la basse Verni. Pavesi est au cœur de son répertoire, avec Trento, Farinelli, Calegari, Mayr... En 1805-06, c'est la Fenice qui emploie ses talents, notamment pour créer Orgoglio e umuliazione de Generali, et à nouveau en 1808. On entend aussi Bassi à Bologne, et il s'impose durablement à la Scala à partir de 1808, même s'il paraît encore dans d'autres cités. À Milan, la basse crée des succès qui consolident son statut, comme Ser Marcantonio de Pavesi, avec la charmante contralto Gafforini. Il porte ce succès à Turin en 1811, où il donne Il Matrimonio di Figaro (sic) de Mozart avec le ténor Garcia et crée aussi un opéra de son frère Adolfo, L'Ingiusta critica alle donne. Un critique français en fait rapport dans Le Courrier de Turin :
Le public assiste à cette pièce comme à une comédie : l'originalité du jeu de Nicola Bassi, et les intentions piquantes dont cet ouvrage est rempli, amusent constamment le parterre qui applaudit bien souvent quelques endroits du récitatif, honneur accordé très-rarement aux opéras.

Bassi demeure fidèle aux théâtres du nord de la Péninsule : Milan bien sûr, Trieste, Vérone, Padoue... Il ne pouvait échapper à la vague rossinienne, et il donne trois opéras de ce dernier à Vérone en 1818, puis deux autres encore à Turin, comme La Pietra del paragone. Bassi est Leporello dans Don Giovanni de Mozart à Milan en 1820 et crée Margherita d'Anjou de Meyerbeer, qui contient un célèbre trio pour basse auquel participait aussi Nicolas Prosper-Levasseur. Sa carrière court encore entre Trieste, Turin (1821) et Crémone (1822), toujours dans Rossini mais aussi Pacini (Il Falegname di Livonia). En 1825, il donne la Camilla de Paër à Venise avec Rubini, et s'éteint la même année à Vicence.

Dans sa Biographie universelle des musiciens, Fétis évoque Bassi comme un « excellent bouffe chantant, et le dernier qui ait possédé la tradition de l'ancienne école ». Dans une note envoyée à Paris en 1824 sur 44 artistes italiens, Pierre-Jean Massin-Turina écrit : « fort bon comique intelligent pour les rôles, mais point de voix. »
Dans ses écrits, Stendhal vante le talent de Bassi, qu'il place parmi les meilleurs bouffes d'Italie, notamment dans Il Barbiere di Seviglia de Rossini et Camilla de Paër. L'admirant dans La Testa di bronzo, il raconte :
Bassi est excellent : ce n’est pas l’âme qui lui manque à celui-là ! Quel bouffe divin s’il avait un peu de voix ! Quel feu ! quelle énergie ! quelle âme toute à la scène ! Il joue tous les soirs, depuis quarante jours, cette Tête de bronze ; n’ayez pas peur qu’il jette un regard dans la salle ; il est toujours le valet de chambre poltron et sensible du duc de Hongrie. En France, un homme d’autant d’esprit (Bassi fait de jolies comédies) aurait peur d’être ridicule par l’importance qu’il met à son rôle, même quand personne ne l’écoute. Je lui ai fait ce soir cette objection ; il m’a répondu : « Je joue bien pour me faire plaisir à moi-même. Je copie un certain valet poltron, dont mon imagination m’a procuré la vue les premières fois que j’ai joué mon rôle. Quand je parais en scène maintenant, j’ai du plaisir à être en valet poltron. Si je regardais dans la salle, je m’ennuierais à périr ; je crois même que je manquerais de mémoire. D’ailleurs, j’ai si peu de voix : si je n’étais pas bon acteur, que serais-je ? » — Pour une belle voix, comme pour la fraîcheur des attraits chez les femmes, il faut un cœur froid.