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Fille de la célèbre basse bouffe Francesco Baglioni, elle accompagne son père et ses grandes sœurs Giovanna et Clementina dans leurs pérégrinations. Elle devient ainsi chanteuse d’opéra, comme ses nombreuses autres sœurs.
Costanza débute à Venise en 1762 dans un petit rôle et se produit brièvement à Vienne vers 1765. Elle y est engagée en 1771, rejoignant ainsi ses sœurs Clementina et Rosa. Burney, qui l’entend à Florence en 1770, n’a rien à redire quant à sa voix et son expression, claires et justes.
Le contrat de Costanza précise qu’elle doit se produire dans les genres sérieux, comiques, dans les occasions et lieux habituels où l’empereur fait donner sa musique. On y stipule qu’elle doit alterner avec l’autre prima donna [sic], sans doute Clementina. Cette dernière est sans doute par ailleurs un peu plus douée vocalement, mais il est difficile de différencier les rôles attribués à l’une ou l’autre, comme Rosina de La Finta Semplice.
Costanza chante donc des rôles de premier plan, comme la charismatique Mirandolina dans La Locandiera de Salieri. Rosa, plus timide, chante Lina. Avec Clementina, les deux sopranos se produisent dans le cadre des premiers concerts de la Tonkünslter-Sozietät de 1772 à 1774, certainement dans La Betulia liberata, Ester de Dittersdorf ou Giuseppe riconosciuto de Bonno.
Entre 1778 et 1780, Costanza est à Paris avec Rosa puis Clementina, et joue les rôles bouffes sur invitation de Piccinni à l'Académie royale de musique.