Basse bouffe native de Bologne, Cricchi est de la troisième génération des interprètes d'intermezzo, qui se produisent en duo d'artistes, comme Cavanna avec la Costantini ou Marchesini, Corrado et Celeste Resse, le couple Ermini etc. Sa partenaire la plus régulière est ainsi la soprano Rosa Ruvinetti, qui n'est pas son épouse à la ville, mais il paraît également avec d'autres cantatrices.

La basse débute au moins en 1726 à Ravenne. Il participe à La forza dell'amore de Buini à Bologne en 1728, avec le ténor Novelli et la soprano Peruzzi. Cricchi et Ruvinetti se produisent ensemble à Venise en 1732, dans les intermezzi des opéras du San Angelo, comme Ardelinda d'Albinoni. Ils se produisent dans d'autres villes du Nord de l'Italie (Jesi, Florence etc.) jusqu'en 1735, année où ils rejoignent la cour de Saint-Pétersbourg avec le castrat Morigi.

Les deux chanteurs restent en Russie et donnent les œuvres comiques de Hasse, Orlandini etc. Entre 1738 et 1742, Cricchi rentre en Italie et chante partout La Serva padrona, de Parme, Bologne et Milan, avec Mlles Fabiani et Castelli en passant par Venise et Modène, toujours sans Rosa Ruvinetti. Ce n'est évidemment pas la seule page du répertoire, et il donne aussi Livietta a Tracollo du même Pergolesi, ou encore L'Impresario dell'isole canarie d'Orlandini. En 1739-40, Cricchi se produit également à Rome auprès de castrats, chantant par exemple Il Tutore de Hasse.
Il reparaît encore en Russie, toutefois, et participe aussi à certaines productions d'opera seria avec le couple Giorgi, Ruvinetti et le soprano Saletti comme le Seleuco d'Araja en 1744.

En 1747, Ruvinetti et Cricchi passent à Dresde et interprètent un vaste pasticcio buffo intitulé Il Finto Pazzo, avec des musiques de Hasse et Pergolesi, ainsi qu'un intermède de Sellitto. Ces artistes sont engagés l'année suivante à Postdam par Frédéric II : Cricchi y est même directeur de la troupe italienne des bouffons. Ils y présentent des intermèdes comiques l'été, et lors de réceptions, déclenchant la franche hilarité du souverain et de la cour, par exemple en 1750 avec un Monsieur di Porsugnacco de Fiorillo. La même année, Cricchi et Ruvinetti créent Il Filosofo convinto in amore du maître de chapelle local Agricola. Au répertoire figure aussi Auletta et Hasse. Frédéric II écrit à sa sœur la margrave de Bayreuth : « Hier tout le monde est accouru à notre théâtre pour y voir les intermezzo. Cricchi a paru, et a fait un compliment au public, en le faisant souvenir que c'était le 1^er d'avril; c'était toute la pièce. » La période prussienne s'achève au début de 1751.

En 1758, la troupe de Cricchi (avec Ruvinetti) est invité au Burgtheater de Vienne, et c'est toute une distribution qui donne Il Filosofo di campagna de Galuppi en 1759.