Cette basse étonnante se produit à Venise au début des années 1700, interprétant entre autres Caldara, Lotti et Gasparini. Boschi se rend jusqu'à Vienne pour y interpréter Ariosti ou A. Bononcini en 1708 (La Presa di Tebe). Mari de la contralto Vanini, il chante avec elle un second rôle dans l’Agrippina de Haendel en 1709. Il y chante le personnage de Pallante, qui correspond à son surnom, tandis que le charismatique Carli interprète Claudio.

Son talent exceptionnel, tant du point de vue vocal que dramatique, lui vaut ainsi de nombreux engagements italiens, puis dans la nouvelle compagnie de Haendel à Londres. Ce dernier lance sa longue carrière londonienne avec Rinaldo, qui compile une bonne partie de la musique composée en Italie. Boschi et son épouse sont de la partie, respectivement en Argante et Goffredo. La basse y chante des pages du rôle de Polifemo, dont le fameux air d’entrée Sibillir gli angui d’Aletto. Il ne participe pas, néanmoins, à Amadigi ni à Teseo.
Boschi est en effet très vite de retour en Italie, avec sa femme ; il chante Peribea in Salamina de Pollarolo à Padoue en 1712 et à Vicence la même année (avec Pietro Casati), puis Lucio Vero d’Albinoni à Ferrare deux ans plus tard. 1714 est aussi l'année où la basse intègre l'effectif de la chapelle San Marco à Venise, d'où il s'éloigne régulièrement – en prenant soin d'en demander la permission – pour répondre aux prestigieux engagements à l'étranger.
Preuve de son talent extrême, Boschi est engagé au sein de la troupe d’excellence réunie à Dresde en 1716, qui comprend Durastanti, Santa Stella, Senesino, Berselli et plus tard la Tesi et la Coralli. Boschi participe aux opéras et serenate de Lotti, Heinichen et autres, comme Teofane, La Gara degli Dei. En 1719, la troupe est dissoute, et Boschi retourne à Londres.

Il demeure bien plus longtemps dans la capitale britannique et interprète de nombreux opéras de Haendel, G. Bononcini (Astianatte, 1727), Ariosti et tous les autres compositeurs joués par la compagnie. Haendel lui réserve des seconds rôles de relief dotés d’un à trois airs, mais la voix de Boschi semble sensiblement écourtée dans le grave, et s’apparente à un baryton-basse. En outre, ces rôles manquent un peu de subtilité et le chanteur est généralement cantonné dans les personnages négatifs s’exprimant dans un registre violent et agité : souhait du chanteur ou simple faiblesse des livrets ? En effet, dans le Siroe adapté de Metastasio, Boschi se voit offrir un rôle d’un tout autre intérêt dramatique que Grimoaldo dans Rodelinda ou Achilla dans Giulio Cesare, avec le roi Cosroe. Il y chante enfin un sensible Gelido in ogni vena, célèbre aria du livret. Un poème de James Miller s'amuse en tout cas : « Et comme Boschi, sois toujours en colère. »
Ces prestations nombreuses lui permettent de s’illustrer avec Senesino, son partenaire à Dresde, et Cuzzoni, ensuite joints par Bordoni.

Lorsque la compagnie périclite, Boschi rentre en Italie : la nouvelle grande basse employée à Londres sera Montagnana. Boschi chante alors à Venise, au San Giovanni Grisostomo dans Ezio ou Semiramide de Porpora, Catone in Utica de Leo, etc. Il s’inscrit ainsi dans les brillantes distributions des nouveaux chanteurs d’école napolitaine, comme Farinelli. Il termine sa carrière tranquillement au sein de la chapelle de San Marco, qui le reprend fin 1728.